Le Théorème fondamental de l'algèbre

Overview & Synopsis

« Ce qui est simple est souvent le meilleur », P.-P. Riquet (concepteur du canal du Midi). Ce qu'on appelle le théorème fondamental de l'Algèbre affirme que tout polynôme admet au moins une racine complexe ; on a eu récemment, dans le bulletin de l'APMEP [1], une évocation historique relatant la contribution de J. R. ARGAND. Quand j'étais étudiant en premier cycle universitaire, j'ai entendu de mes professeurs (et pas seulement moi) « qu'on allait tout nous démontrer dans les cours de mathématiques … sauf le théorème fondamental de l'Algèbre » ; bref sa démonstration nous était mentionnée comme un Graal inaccessible à notre niveau. Or il n'en est rien… Il existe une multitude de démonstrations possibles, dont certaines sont vraiment accessibles en deuxième année d'études en mathématiques post Bac (même après la réforme LMD…). Des articles de revue comme [2, 3], le chapitre 4 de la partie A de [6], un site web : http ://math.fullerton.edu/mathews/c2002/funtheorem/funtheorem.html, y sont consacrés. Y a t-il des démonstrations du théorème fondamental de l'Algèbre qui soient plus simples que les autres ? La réponse est une question de goût et, comme souvent en mathématiques, tout dépend de ce que l'on suppose connu avant d'en aborder la démonstration. Reconnaissons toutefois que dans la plupart des démonstrations bien connues et diffusées, les techniques et résultats concernant les fonctions de la variable complexe y jouent un rôle prépondérant [2]. Nous proposons ci-dessous une démonstration très différente (au moins dans la dernière étape), basée sur le Calcul différentiel (tel qu'on l'apprend en première année d'université) et l'Optimisation (également des programmes de première et deuxième années d'université). L'idée de cette manière de conclure n'est pas de moi, je l'ai apprise dans divers écrits pédagogiques sous la direction d'un collègue russe, A. V. TIKHOMIROV, professeur à l'université de Moscou [4, 5]. J'ai pensé qu'il était utile de la faire mieux connaître.