Géométrie discrète, calcul en nombres entiers et algorithmique

Overview & Synopsis

Les numérisations variées conduisent souvent à des cohabitations difficiles sinon des conflits entre discret et continu. Les analyses de nombreuses situations de ce type montrent la plupart du temps que l'origine des problèmes réside dans l'emploi simultané de nombres réels et de nombres entiers, aux propriétés bien distinctes. Contrairement à l'approche traditionnelle de ces questions, qui traite "individuellement", ob jet par ob jet, les relations discret-continu, nous adoptons un point de vue "global", pour une théorie complète. Nous proposons dans la première partie une solution possible de ces conflits par l'usage de Théories où les nombres réels sont remplacés par des entiers; les notions continues (ou topologiques) sont retrouvées simplement en utilisant la notion d'entier infiniment grand de l'Analyse Non Standard. Bien qu'un très grand nombres de domaines, tant en Mathématique qu'en Physique, soient concernés il nous a semblé clair que l'informatique, autre source de problèmes discret-continu importants, pouvait offrir un champ d'expérimentation à ces idées. Nous donnons en particulier les fondements d'une Géométrie Discrète Arithmétique, pendant discret de la Géométrie Euclidienne; elle occupe la deuxième partie. C'est une mathématisation immédiate de la pratique du discret-continu géométrique, domaine qui va de l'Algorithmique Graphique à la Conception des Circuits en passant par la Géométrie Algorithmique, la Synthèse d'images etc.; elle permet de résoudre de nombreuses questions concrètes posées dans ces domaines. L'émergence de cette théorie est certainement le résultat le plus significatif de ce travail. Nous nous contentons dans ce descriptif de mentionner quelques résultats pouvant donner une idée de l'intérêt de cette Géométrie.