Géométrie et quantification de paires de Howe d'actions symplectiques

Overview & Synopsis

Motivé par la dualité de Howe dans la théorie des représentations de groupes de Lie, on cherche une construction analogue en géométrie symplectique, c'est-à-dire on souhaite que sa quantification géométrique décomposé de manière Howe-duale. On trouve que dans le contexte symplectique, le cadre correct est donné par deux groupes de Lie agissant sur la même variété symplectique si ces actions commutent et satisfont la condition de Howe symplectique, i. e., ces actions sont hamiltoniennes et leurs fonctions collectives sont leurs centralisateurs mutuelles dans l'algèbre de Poisson des fonctions lisses sur la variété symplectique. Une fois cette condition est remplie, nous pouvons décrire la structure d'orbites en détail. En particulier, il y a une bijection entre les orbites coadjointes dans une image d'application moment et celles dans l'image de l'autre application moment ? or, il est cette bijection que nous appelerons la correspondance d?orbites coadjointes. On poursuit l'étude de la correspondance d?orbites coadjointes et on montre que, si les groupes de Lie qui agissent sont compacts et la variété symplectique est préquantifiable, l'intégralité est préservée par la correspondance. Ainsi, il est possible d'associer en même temps des représentations irréductibles aux deux orbites de la correspondance. Donc, nous avons une bijection entre certaines parties des duaux unitaires des deux groupes de Lie qui agissent sur la variété symplectique. En appliquant des résultats connus qui assurent que la quantification et la réduction commutent, nous constatons que la quantification d?une variété kählerienne (vue comme une représentation du produit des deux groupes qui agissent sur la variété) admet une décomposition en somme direct sans multiplicités de produits tensoriels des représentations irréductibles des deux groupes, les paires étant données par la bijection obtenue précédemment ?parfaitement en accord avec la dualité de Howe. Ce résultat principal est accompagné par l?étude de la structure locale d?une variété avec deux actions hamiltoniennes qui commutent, ce qui donne une version locale de la correspondance d'orbites, ainsi que par des réflexions sur la relation entre la correspondance d'orbites coadjointes et la correspondance de feuilles symplectiques généralisées dans des paires duales singulières