Estimation de fonctionnelles intégrales non linéaires d'une densité et de ses dérivées

Overview & Synopsis

Nous abordons le problème de l'estimation des fonctionnelles intégrales non linéaires d'une densité et de ses derivées. L'observation dont nous disposons est un n-échantillon d'une loi de densité f. En faisant des hypothèses à priori sur la densité f, du type f ∈ F où F est un espace de Hölder ou plus généralement un ellipsoïde, nous nous intéressons aux propriétés asymptotiques des estimateurs proposés. Le chapitre 2 concerne l'estimation de fonctionnelles intégrales non linéaires de la densité, dans le cadre abstrait où F est un ellipsoïde inclus dans l'ensemble des fonctions de carré intégrable. Cette étude couvre en particulier le cadre multidimensionnel. Les estimateurs sont construits à l'aide d'un développement de Taylor à l'ordre 2 de la fonctionnelle au voisinage de f où f est un estimateur préliminaire de la densité, basé sur une petite partie de l'échantillon. Avec le reste de l'échantillon, nous estimons les fonctionnelles linéaires et les fonctionnelles quadratiques de la densité, qui apparaissent dans le développement de Taylor. Sous certaines conditions concernant l'ellipsoïde F, nous obtenons des estimateurs efficaces, et des résultats du type théorème de la limite centrale. Dans le cas particulier où f est une densité sur R^d, admettant une régularité d'ordre s, l'efficacité et la normalité asymptotique sont obtenues dès que s > d/4. Ce résultat est optimal, en effet, si s < d/4 il est impossible de construire des estimateurs qui convergent à la vitesse 1/√n. Dans le chapitre 3, nous estimons des fonctionnelles intégrales non linéaires de la densité et de ses k premières dérivées. Comme dans le chapitre 2, l'idée de la construction des estimateurs est basée sur un développement de Taylor au voisinage d'un estimateur préliminaire de la densité. Nous supposons que f est à support dans un compact de R, qu'elle est périodique ainsi que ses dérivées et que f admet une régularité d'ordre s > k. Nos estimateurs sont efficaces et asymptotiquement gaussiens dès que s > 2k + 1/4. Lorsque 1 < s < 2k + 1/4, nous obtenons une vitesse de convergence optimale. Le chapitre 4 présente les resultats de simulations concernant l'estimation de ∫ f^2 et celle de l'entropie. Nous comparons notamment les performances des estimateurs proposés dans cette thèse avec celles d'estimateurs étudiés antérieurement.