Sur le problème de Cauchy pour des équations de type KP

Overview & Synopsis

Nous étudions le problème de Cauchy pour les équations de type KP par des techniques d'analyse harmonique dévéloppées ces dix dernières années notamment par J. Bourgain, C. Kenig, G. Ponce and L. Vega. Nous considérons d'abord le problème de Cauchy pour l'équation de KP-II. Nous démontrons que l'équation de KP-Il est localement bien posée avec des données dans l'espace de Sobolev anisotrope H_x,y^s1,s2(R^2) pour s1 > -1/3, s2 ≥ 0. Par ailleurs nous démontrons que l'estimation bilinéaire cruciale n'est plus satisfaite pour s1 < -1/3, s2 ≥ 0. Nous démontrons aussi que le problème de Cauchy pour l'équation de KP-II est globalement bien posé pour des données dans H_x,y^s1,s2(R^2) pour si > -1/310, s2 ≥ 0. Le nouvel ingrédient technique est une généralisation de l'estimation bilinéaire qui donne l'existence locale. Les équations de KP d'ordre 5 sont aussi étudiées. Nous démontrons des résultats pour les deux équations KP-I et KP-II. En particulier, dans le cas de l'équation de KP-I d'ordre 5 nous démontrons que le problème de Cauchy est globalement bien posé dans l'espace d'énergie malgré le "mauvais signe" dans la relation algébrique liée au symbole de l'opérateur linéarisé.