Resultados de existencia y regularidad para problemas elípticos por

Overview & Synopsis

Resumen. Este trabajo surge a partir de un curso sobre «Ecuaciones casi-lineales con crecimiento natural» impartido en la Universidad de Granada en abril de 2012 por el primer autor. El objetivo principal es proporcionar al lector una colección de herramientas del Análisis No Lineal aplicables a pro-blemas elípticos no lineales de vigencia actual en la investigación matemática. En concreto, está pensado como una introducción al estudio de resultados de existencia y regularidad para determinados problemas elípticos. 1. Introducción El objetivo principal de estas notas, que intentan ser «auto-contenidas», es es-tudiar resultados de existencia y regularidad para algunos problemas elípticos cuyo modelo fundamental es −∆u(x) = f (x), en Ω, u(x) = 0, en ∂Ω, (1.1) donde Ω es un abierto acotado de R N , ∆ es el operador de Laplace y el dato f (x) pertenece a L m (Ω), con m > 1. Comenzaremos presentando resultados clásicos para tratar después algunos más recientes y con plena vigencia en la investigación en este campo. ¿Qué se entiende por solución de (1.1)? Desde el punto de vista clásico, dada una función f continua, resolver el problema (1.1) consiste en encontrar una función u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) que verifique tanto la ecuación del problema como la condición de contorno. Estudiar la existencia de solución clásica es una cuestión bastante complicada, incluso para el problema modelo (1.1). En este sentido, a lo largo de estas notas (al igual que se ha hecho desde el siglo pasado) se utiliza el concepto de solución débil que generaliza el concepto clásico anterior. Vamos a trabajar principalmente en el espacio de Sobolev H 1 0 (Ω), que es un espacio de Hilbert (y por tanto completo) de modo que se amplía el espacio donde se buscan soluciones de (1.1) y el problema es más simple. Recordemos que H 1 0 (Ω) es el cierre de las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en Ω en el espacio H 1 (Ω) de las funciones tales que tanto ellas como sus derivadas están en L 2 (Ω). 1 1 Todos los resultados de análisis real, análisis funcional y espacios de Sobolev que usamos se pueden consultar en el libro Análisis funcional: teoría y aplicaciones de Haïm Brezis ([6]).