Marches aléatoires et éléments contractants sur des espaces CAT(0)

Overview & Synopsis

Dans cette thèse, on étudie des marches aléatoires induites par des actions de groupes probabilisés sur des espaces de courbure négative ou nulle. On décrit en particulier le cas d'actions sur des espaces CAT(0) admettant des éléments contractants, c'est-à-dire dont les propriétés imitent ceux des isométries loxodromiques dans les espaces Gromov-hyperboliques. On montre dans ce cadre plusieurs lois limites, comme la convergence presque sûre vers le bord sans hypothèse de moment, la positivité de la dérive, et un théorème de la limite centrale. Dans un second temps, on étudie les mesures stationnaires sur un immeuble affine de type A˜₂, et on montre qu'il existe toujours des isométries hyperboliques pour une action non élémentaire et par automorphismes sur un tel espace. Notre approche implique l'utilisation de modèles hyperboliques pour les espaces CAT(0), dont la construction est due à H. Petyt, D. Spriano et A. Zalloum, et des techniques de théorie des bords mesurés dont les principes remontent à H. Furstenberg.