Concentration et confinement des fonctions propres dans un ouvert borné - version 2 *

Overview & Synopsis

Si ω et Ω, ω ⊂ Ω := (0, L) × (0, H), sont deux ouverts bornés de R 2 , il est bien connu qu'il existe une constante C ω telle que 0 < C ω ≤ R ω (u) := u 2 L 2 (ω) u 2 L 2 (Ω) < Vol(ω) Vol(Ω) pour toute fonc-tion propre u du Laplacien-Dirichlet −∆ sur Ω. Ce résultat n'étant plus exact pour un opérateur autoadjoint elliptique A du deuxième ordre sans coefficients constants, plusieurs travaux l'ont considéré dont récemment [2]. On crée une partition F N G ∪ F G de l'ensemble des fonctions propres de l'opérateur A :-les fonctions propres non guidées i.e. ∀ω = ∅, ∃C ω > 0 tel que R ω (u) > C ω , si u ∈ F N G ,-les fonctions propres guidées i.e. ∃ω = ∅, tel que inf u∈F G R ω (u) = 0. Entre autres choses, le papier caractérise spectralement ces deux ensembles pour des modèles très simples de milieux stratifiés, ce qui donne une condition suffisante, et parfois nécessaire. La stratification permet le passage de la représentation habituelle du spectre de l'opérateur A, i.e. σ(A) ⊂ R,à une représentationà deux indices d'où une description géométrique des deux familles de fonctions propres. Dans la précédente version, la section 4.1était incorrecte, elle est donc corrigée, d'autres preuves sont simplifiées et un résultat plus général ajouté. Abstract