Quelques contributions à l'analyse multifractale en théorie des fractions continues et à la transformée de Fourier des mesures

Overview & Synopsis

Dans cette thèse on s'intéresse à la dimension de Hausdorff des points donc le taux de croissance des quotients partiels en fractions continues est prescrit, et au taux de décroissance pour la transformée de Fourier d'une classe de mesures de probabilité. Dans la première partie, on s'intéresse aux nombres réels dont les quotients partiels des fractions continues sont croissants. L'exposant de convergence d'un tel nombre est défini par l'exposant de convergence de sa suite de quotients partiels. On cherche à réaliser l'analyse multifractale de cet exposant de convergence. Ce spectre multifractal, qui à un certain DOLLARhinmathbb{R}DOLLAR associe la dimension de Hausdorff des points d'exposant de convergence DOLLARhDOLLAR, a été calculé. Il résulte de cette '{e}tude que le spectre multifractal n'est pas différentiable au point DOLLARh=1DOLLAR. En conséquence, on observe une transition de phase dans le spectre. D'autre part, en complément d'un résultat de Wang et Wu, on obtient les dimensions de Hausdorff de certains ensembles de niveaux associés aux ensembles exceptionnels issus du théorème de Borel-Bernstein sur les fractions continues. La seconde partie traite la convolution infinie de mesures sur DOLLAR[0,1]DOLLAR définie par[mu=ast_{n=1}^{infty}left(frac{1}{2}(1+phi(n))delta_0+frac{1}{2}(1-phi(n))delta_{2^{-n}}right),]où DOLLARdelta_{x}DOLLAR désigne la mesure de Dirac au point DOLLARxDOLLAR et DOLLARphiDOLLAR est une fonction de poid définie sur DOLLARmathbb{N}DOLLAR et à valeurs dans DOLLAR(0,1)DOLLAR. Pour toute fonction de poid DOLLARphiDOLLAR, on obtient explicitement le taux de décroissance ponctuel de la transformée de Fourier de la mesure DOLLARmuDOLLAR. Notre résultat généralise un résultat classique de Hartman et Kershner. En utilisant la méthode de Cassels et Schmidt et en appliquant le Théorème de Davenport-ErdH{o}s-Leveque, on prouve que DOLLARmuDOLLAR-presque tout nombre réel est absolument normal. En application, on fournit de nouveaux exemples de mesures dont le taux de décroissance de la transformée de Fourier peut être très lent, et pour laquelle presque tout nombre est absolument normal, ce qui complète un résultat de Lyons concernant l'ensemble des nombres non normaux.