L'analyse spatiale des extrêmes à partir d'une unique réalisation : un point de vue géostatistique

Overview & Synopsis

La théorie spatiale des valeurs extrêmes permet de modéliser et prédire la fréquence d'évènements extrêmes ayant une étendue spatiale comme, par exemple, des pluies ou des températures extrêmes, ou encore de fortes concentrations de pollution atmosphérique. Elle s'adapte bien aux données temporelles, lorsque le phénomène spatial étudié est observé plusieurs fois dans le temps. Cependant, nous n'avons parfois pas accès à de telles données: seulement un ou quelques enregistrements sont disponibles. C'est le cas, par exemple, des études sur l'estimation des ressources minières ou sur l'évaluation de la pollution des sols et plus généralement de toute recherche dont l'objet d'étude varie très peu au cours du temps ou pour lequel le coût d'échantillonnage est trop élevé. Ce cas de figure est très peu abordé par la communauté des extrêmes. Au contraire, c'est un cadre d'analyse auquel la Géostatistique s'intéresse particulièrement. Les travaux réalisés au cours de cette thèse ont pour objectif d'établir des connexions mathématiques entre ces deux disciplines afin de mieux appréhender les évènements extrêmes, lorsque le phénomène spatial sous-jacent n'est observé qu'une seule fois.Nous nous intéressons, dans un premier temps, au concept de portée intégrale. Intrinsèquement lié aux propriétés d'ergodicité et de mélange, ce paramètre issu de la théorie géostatistique caractérise les fluctuations statistiques, à large échelle, d'un champ aléatoire stationnaire. Lorsque ce dernier est un champ max-stable, nous montrons que sa fonction coefficient extrémal (ECF) est fortement liée à la portée intégrale du champ des excès, au dessus d'un certain seuil, correspondant. Cette approche permet de retrouver et de compléter des résultats précédemment établis dans un contexte de risque spatialisé. Elle met également en évidence une nouvelle expression de la fonction coefficient extrémal qui dépend du variogramme du champ des excès.À partir de cette formule, nous proposons un nouvel estimateur non-paramétrique de l'ECF. Ses propriétés asymptotiques sont établies lorsqu'il est évalué à partir d'une unique réalisation, partiellement observée, d'un champ stationnaire max-stable. En particulier, lorsque le nombre d'observations se densifie en même temps que le champ d'observation grandit, et sous certaines hypothèses concernant la portée intégrale susmentionnée, nous montrons qu'il est consistent et asymptotiquement normal. Il est donc pertinent d'utiliser les outils géostatistiques pour enrichir l'analyse des valeurs extrêmes. Finalement, nous développons un nouvel algorithme permettant de simuler, en continu, des processus aléatoires tempête pour lesquels la fonction de forme est déterministe. Il se distingue donc de la plupart des algorithmes existants qui s'utilisent exclusivement lorsque le domaine de simulation est composé d'un nombre fini de points. À cet égard, il permet d'étudier plus facilement la géométrie des réalisations de tels processus. Cela est particulièrement intéressant quand la caractéristique géométrique étudiée mêle différentes échelles d'observation.