Résolutions d'équations d'ondes en dimension quelconque

Overview & Synopsis

Notre sujet de Recherche prend pour objet de départ la résolution d'équations d'ondes en dimension quelconque.Le système considéré permet une approche simplifiée des équations d'Euler compressibles issues de la dynamique des gaz en négligeant les termes quadratiques.Les travaux de Recherche conduits traitent à la fois d'un problème du second ordre, linéaire et non linéaire, à frontière fixe ou à frontière libre, de nature hyperbolique ou de type mixtehyperbolique-elliptique, avec présence ou absence d’un terme d’amortissement, en dimension supérieure ou égale à deux .Dans un premier temps, nos recherches se focalisent sur le cas linéaire en dimension deux et nous conduisent à la résolution d’un problème de Riemann.Ces recherches mettent en évidence deux régions : l’une supersonique, l’autre subsonique où le problème est de type mixte hyperbolique-elliptique.Nos travaux nous permettent de déterminer la solution dans chacune des régions du plan.Cette démarche est ensuite étendue au cas non linéaire, dont la mise en oeuvre suit le modèle des travaux réalisés par K. Jegdic, B. Keyfitz et S. Canic ces dernières années .Des fonctions cut-off sont introduites pour prendre en compte la partie elliptique du problème. Dans ce cas non linéaire, les résultats obtenus complètent les travaux réalisés sur ce thème.Dans un second temps, notre étude est élargie à la résolution d’une équation d’ondes avec terme d’amortissement en dimension supérieure ou égale à deux, qui nous mènera à la mise en place et à la résolution de deux types de problèmes : le problème faible et le problème fort, chacun sera envisagé pour des conditions au bord de type Dirichlet et de type Neumann.Ce type d’équation d’onde avec terme d’amortissement se retrouve notamment en modélisation cérébrale, il s’agit de l’équation de Zhijian.Les résultats obtenus au niveau des solutions faibles et de la solution forte satisfaisant le problème de Dirichlet, permettent de compléter les travaux de M. Jradeh et M. Bergounioux réalisés en dimension un sur ce thème .