Peut-on dire ce qui n'est pas ?

Overview & Synopsis

Si les philosophes ont produit quantité de conceptions anti-réalistes des mathématiques (formalisme, intuitionnisme...), et même édicté des interdits de limitant telle ou telle variante de mathématique non réaliste, la plupart des mathématiciens y sont restés indifférents : spontanément réalistes, au sens où ils vivent leur pratique comme la découverte d'aspects d'une réalité autonome, ils n'en sont pas pour autant nécessairement platonistes quand, par un retour réflexif sur leur propre pratique, ils en viennent à statuer sur l'ontologie de cette prétendue " réalité ". Il s'agit donc d'articuler deux moments qui apparaissent en décalage, au point d'être parfois contradictoires : " l'ontologie spontanée " ou la phénoménologie du mathématicien et son " ontologie réfléchie ". d'un point de vue logique, l'objectif est celui de rendre compatible le plus grand libéralisme quant aux règles de construction des théories avec une ontologie nominaliste extrême, le fictionnalisme mathématique. Une approche structuraliste, inspirée par la notion de contenu formel de Granger, permet d'adosser l'ontologie des mathématiques à l'objectivité de la syntaxe, en privilégiant la forme sur le contenu. Dans un second temps, à partir d'une réflexion sur la logique des fictions ordinaires, on réhabilite le contenu en tant qu'objet mental à un niveau proprement sémantique, en rupture avec le paradigme logico-ontologique de Quine. L'approche modèle-théorétique et l'étude de différentes conceptions des quantificateurs (quantifications substitutionnelle et objectuelle, théorie sémantique des jeux de Hintikka) incitent à séparer nettement deux aspects, sémantique et ontologie, alors que la tradition de l'universalisme logique incluait la seconde dans la première. Le désengagement ontologique des théories sémantiques permet alors de retourner à certains débats des théoriciens de la référence, en y discernant les traits irréductiblement pragmatiques, par la même rétifs à toute théorisation.