Arithmétique des groupes algébriques au-dessus du corps des fonctions d'une courbe sur un corps p-adique

Overview & Synopsis

Dans cette thèse, on considère l'arithmétique des groupes linéaires sur les corps de fonctions p-adiques. On divise la thèse en plusieurs parties.Dans la première partie, on rappelle une obstruction cohomologique au principe de Hasse pour les torseurs sous un tore [HS16] et une obstruction à l'approximation faible pour les tores [HSS15] Par la suite, on compare les obstructions ci-dessus de deux manières différentes. En particulier, on montre que l'obstruction au principe de Hasse pour les torseurs sous un tore peut être décrite par un groupe de cohomologie non ramifée.Dans la deuxième partie, on établit quelques théorèmes de dualité arithmétique et on déduit une suite exacte de type Poitou-Tate pour les complexes courts de tores. Plus tard, on parvient à trouver un défaut d'approximation faible pour certains groupes réductifs connexes en utilisant un morceau de la suite de Poitou-Tate.Dans la dernière partie, on considère un théorème de Borel-Serre de finitude en cohomologie galoisienne. Le premier ingrédient est que la finitude du noyau de l'application locale-globalepour les groupes linéaires découlera de celle des groupes géométriquement simples simplementconnexes. Par la suite, on montre que ce noyau est un ensemble fini pour une liste de groupes géométriquement simples simplement connexes.