Vers une généralisation multidimensionnelle de la notion de géodésiques sur les groupes de Lie (1ère partie).

Overview & Synopsis

L’utilisation des symétries pour simplifier la résolution d’un problème de mécanique remonte aux travaux d’Euler, Lagrange, Hamilton, Routh, Jacobi, Liouville, Poincaré ... Ils ont étudié la possibilité de réduire la taille de l’espace des phases en se servant de l’ensemble des symétries et des lois de conservation qui leurs sont associées. Cette procédure de réduction peut s’appliquer à une poutre de Reissner - modélisée sous la forme d’un assemblage de sections rigides. Ce système mécanique présente une symétrie dans la mesure où il est invariant sous l’action du groupe des rotations et des translations. La géométrisation de ce problème, envisagée sous une forme classique, consiste à déterminer l’évolution de la déformée de la poutre à chaque instant. Cette approche, appelée « dynamique », présente la difficulté de considérer un espace des configurations de dimension infinie. Les solutions sont les courbes géodésiques d’un espace de fonctions. L’alternative est de considérer non plus un unique paramètre d’évolution (le temps) mais plusieurs (le temps et l’espace). On parle alors d’approche « covariante » où l’espace des configurations est de dimension finie (celle du groupe de symétrie). Dans ce cas, les solutions sont des surfaces (plus généralement, des sections sur un fibré). Envisagée dans un premier temps par De Donder, Weyl, Caratheodory (~1930), cette théorie (field theory) a suscité de l’intérêt et a été utilisée pour différents types d’applications comme par exemple l’étude dynamique des brins d’ADN ou des systèmes articulés. On souhaite l’utiliser à des fins de synthèse sonore par modèles physiques d’une corde vue comme une poutre de Reissner. La théorie des champs nécessite une généralisation, parfois délicate, des outils de la géométrie. La mise en évidence de ces outils ainsi que des symétries et des lois de conservation régissant l’évolution d’une poutre de Reissner feront l’objet de la présentation.