Symplect'hearing the contact horizon and contacting the symplectic inner beauty

Overview & Synopsis

Ce mémoire se présente comme une promenade dans le domaine de la topologie symplectique et de la géométrie de contact, présentant dans leur contexte les résultats que j’ai obtenus depuis la fin de ma thèse. Le fil conducteur de mes recherches est la question suivante: Dans le cadre d’une variété symplectique à bord de type contact, quelle information l’intérieur possède t-il sur le bord et réciproquement, quelle information le bord possède t-il sur l’intérieur? Ce mémoire est divisé en deux parties correspondant aux deux volets de la question ci-dessus. La première partie est consacrée à l’étude du nombre minimal d’orbites périodiques du champ de Reeb d’abord sur des hypersurfaces étoilées dans R^{2n} ensuite sur des variétés plus générales. Un des outils principaux est l’homologie symplectique S^1-équivariante positive; elle est construite à partir d’orbites périodiques de champs de vecteurs hamiltoniens sur une variété symplectique dont le bord est la variété de contact considérée. La deuxième partie est consacrée aux plongements symplectiques d’une variété symplectique dans une autre et plus précisément à leur obstructions (capacités symplectiques). Nous présentons une nouvelle construction d’une suite de capacités symplectiques ainsi que quelques applications et calculs. La conjecture forte de Viterbo énonce que toutes les capacités normalisées coïncident sur les domaines convexes de R^{2n}. Nous en donnons une démonstration en dimension 4 dans le cadre des domaines toriques monotones (que nous introduisons). Nous définissons une nouvelle notion d’équivalence de plongements symplectiques et donnons des exemples de plongements non-équivalents. Le dernier chapitre présente certaines perspectives envisagées pour mes recherches futures.