Modèle d'îlots de particules et application en fiabilité

Overview & Synopsis

Les modèles de Feynman-Kac (généralisant les modèles de Markov cachés) sont aujourd'hui très largement utilisés afin de modéliser une grande diversité de séries temporelles dans différents domaines tels que l'aéronautique, l'analyse d'évènements rares, le traitement du signal, les mathématiques financières, la biologie, etc. La complexité croissante de ces modèles a conduit au développement d'approximations via différentes méthodes de Monte-Carlo, dont les méthodes de Monte-Carlo par chaînes de Markov (MCMC) et les méthodes de Monte-Carlo séquentielles (SMC). Les méthodes SMC appliquées au filtrage particulaire sont au centre de cette thèse. Elles consistent à approcher la loi d'intérêt à l'aide d'une population de particules en interaction définies séquentiellement. De nombreux algorithmes ont déjà été développés et étudiés dans la littérature. Nous proposons des techniques de parallélisation des méthodes SMC, en considérant des sous-populations de particules appelées îlots qui peuvent également interagir entre elles. Nous étudions les propriétés de convergence de ces algorithmes d'îlots de particules. En particulier, nous démontrons un théorème central limite (TCL) et la stabilité de la variance des estimateurs induits, grâce à des inégalités de déviation exponentielle et des tableaux triangulaires définis au niveau des îlots. Nous proposons également un nouvel algorithme de type îlots de particules en interaction pour estimer la loi de paramètres aléatoires conditionnellement à la réalisation d'un évènement rare. Nous illustrons sa convergence et nous l'appliquons à deux cas critiques en aérospatiale.